Elçi, 14 Mart 1938 tarihinde Şırnak'ın Cizre ilçesinde doğdu. Cizre'de bir süre avukatlık yapan Elçi, 12 Mart döneminde 8 ay kadar askeri cezaevinde tutuklu kaldı. 1977 Milletvekili Genel Seçimleri'nde Mardin milletvekili olarak parlamentoya giren Elçi, 1978-1979 yılları arasında Bayındırlık Bakanı olarak görev yaptı. 12 Eylül darbesinden sonra tutuklanan Elçi, Ankara Sıkıyönetim Mahkemesi ve Yüce Divan'da yargılanarak çeşitli cezalara çarptırıldı. Elçi'nin genel başkanlığını yaptığı Demokratik Kitle Partisi 26 Şubat 1999 tarihinde kapatılmıştı.